DEFINICIÓN DE PROPOSICIÓN
MATEMÁTICA
Proposición es un concepto con diferentes usos. Puede
tratarse de la manifestación de algo para que otros individuos conozcan una
intención, de la concreción de una propuesta o de un enunciado que puede
resultar falso o verdadero.
La matemática, por otra
parte, es la ciencia dedicada al análisis de las entidades abstractas, como
números, figuras geométricas y símbolos, y de sus propiedades. Como adjetivo,
el término refiere a todo lo vinculado con esta disciplina deductiva.
Después de estas aclaraciones, podemos centrarnos en
las proposiciones matemáticas. Una proposición matemática es una expresión
algebraicaque puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque
nunca ambas a la vez.
Denominadas a través de letras minúsculas, las
proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la
veracidad o la falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus características, es
posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de
conectores lógicos)
y proposiciones compuestas (cuentan con más de un conector lógico).
Dentro de estos grupos también pueden advertirse otras clasificaciones: proposiciones
relacionales, proposiciones predicativas, etc.
Las proposiciones matemáticas pueden ser vistas como
expresiones de juicioque no pueden resultar verdaderas y falsas de manera
simultánea. Por ejemplo:
a: 9 es múltiplo de 3
Dicha expresión es una proposición matemática que resulta
verdadera, ya que 3 x 3 es igual a 9 y, por lo tanto, 9 es
uno de los infinitos múltiplos de 3. Como decíamos líneas
arriba, la proposición matemática también puede ser falsa:
b: 7 es múltiplo de 3
En este caso, la proposición es falsa ya que 7 no
está entre los múltiplos de 3(3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9).
Proposición matemática abierta
Hay
ciertas afirmaciones de las cuales no podemos anticipar su valor de verdad a
simple vista, ya que en su contenido existe al menos una variable, cuyo valor
se desconoce. Luego de observarla y analizarla, pueden llevarse a cabo los
cálculos necesarios para dar con uno de los valores capaces de reemplazarla,
para finalmente estar en condiciones de asegurar se la proposición es verdadera
o falsa.
En algunos casos, las variables pueden ser reemplazadas
por más de un valor, los cuales forman parte de un conjunto que se
denomina dominio de la variable. A su vez, el conjunto que se forma por
los elementos de dicho dominio que vuelven la proposición abierta verdadera
recibe el nombre de conjunto solución de la proposición abierta.
Proposición matemática conjuntiva
Cuando se unen dos proposiciones a través del símbolo de
conjunción (^), se habla de proposición conjuntiva, la cual debe cumplir la
siguiente condición: sólo puede tener un valor de verdad verdadero si
sus dos componentes también lo son; en cambio, si al menos una de ellas arroja
el valor falso, entonces la proposición conjuntiva es falsa.
Dado que se trata de la relación entre dos conjuntos,
también es posible determinar aquellos elementos que forman parte de ambos
dominios de variables, los cuales pertenecen al conjunto intersección de
ambas proposiciones matemáticas.
Proposición matemática disjuntiva
En este caso, también se conectan dos proposiciones, pero
se utiliza el símbolo opuesto al anterior, que se puede leer como la
palabra “o”, dado que propone una relación caracterizada por el siguiente
requisito: la proposición disjuntiva sólo podrá tener un valor verdadero si sus
dos componentes resultan falsas, mientras que basta con que una de ellas sea
verdadera para que la primera también lo sea.
Implicación
Este tipo de proposición matemática también se
denomina condicional y consiste en una conexión que
tiene lugar si se cumple lo siguiente: es falsa sólo cuando la primera
proposición (denominada antecedente) es verdadera y la segunda (el consecuente)
es falsa; cualquier otro caso dará como resultado un valor verdadero.
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